একটি সরল দৌলকের দোলনকাল T'। দোলকটির দৈর্য্য দ্বিগুণ করা হলে, পরিবর্তিত দোলনকাল কী হবে?

বিস্তারিত সমাধান:

একটি সরল দোলকের দোলনকাল (T) তার কার্যকরী দৈর্ঘ্য (L) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) এর উপর নির্ভরশীল। এর সূত্রটি হলো:

\(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)

এই সূত্র থেকে দেখা যায় যে, দোলনকাল কার্যকরী দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সমানুপাতিক, অর্থাৎ \(T \propto \sqrt{L}\) ।

প্রশ্নানুসারে, প্রাথমিক দোলনকাল \(T'\) এবং প্রাথমিক দৈর্ঘ্য \(L_1\) ধরা হলো। তাহলে,

\(T' = C \sqrt{L_1}\) (যেখানে \(C = 2\pi/\sqrt{g}\) একটি ধ্রুবক)

এখন, দোলকটির দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলো। সুতরাং, নতুন দৈর্ঘ্য \(L_2 = 2L_1\)।

নতুন দোলনকাল \(T_{নতুন}\) হলে, সূত্রানুযায়ী:

\(T_{নতুন} = C \sqrt{L_2}\)

\(T_{নতুন} = C \sqrt{2L_1}\)

\(T_{নতুন} = C \sqrt{2} \sqrt{L_1}\)

\(T_{নতুন} = \sqrt{2} (C \sqrt{L_1})\)

যেহেতু \(T' = C \sqrt{L_1}\), তাই আমরা লিখতে পারি:

\(T_{নতুন} = \sqrt{2} T'\)

যদি প্রশ্নে উল্লিখিত \(T'\) এবং অপশনে উল্লিখিত \(T\) একই প্রাথমিক দোলনকালকে নির্দেশ করে, তাহলে পরিবর্তিত দোলনকাল হবে \(\sqrt{2}T\)।

প্রদত্ত অপশনগুলো হলো:

1. 2T
2. 1/2T
3. $\sqrt{2T}$ (যার অর্থ \(\sqrt{2} \times \sqrt{T}\))
4. $\frac{1}{\sqrt{2T}}$ (যার অর্থ \(\frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{T}}\))

আমাদের নির্ণীত পরিবর্তিত দোলনকাল \(\sqrt{2}T\) এর সাথে প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে কোনোটিই হুবহু মিলে না, কারণ অপশন ৩-এর MathML ($\sqrt{2T}$) দ্বারা \(\sqrt{2} \times \sqrt{T}\) বোঝানো হয়েছে, যা \(\sqrt{2}T\) থেকে ভিন্ন। তবে, এই ধরনের প্রশ্নে অনেক সময় অপশনের উপস্থাপনায় ত্রুটি থাকতে পারে এবং ধারণা করা হয় যে $\sqrt{2T}$ দিয়ে আসলে \(\sqrt{2}T\) বোঝানো হয়েছে।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্যানুযায়ী, MathML এর আক্ষরিক ব্যাখ্যা অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই গাণিতিকভাবে সঠিক নয়। তবে, যদি অপশন ৩-কে \(\sqrt{2}T\) হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তবে সেটি সঠিক উত্তর হবে। প্রশ্নে ব্যবহৃত MathML-এর গঠনটি ত্রুটিপূর্ণ, কারণ \(\sqrt{2}T\) লিখতে MathML-এ সাধারণত `2T` অথবা `T2` ব্যবহার করা হয়।